首页 > 数学 > 题目详情
G是三角形ABC的重心.过G作直线交于AB,AC与E,F.求证GE小于等于2GF
题目内容:
G是三角形ABC的重心.过G作直线交于AB,AC与E,F.求证GE小于等于2GF优质解答
延长BG交AC于D、延长CG交AB于H,依次过B、H、C、D作直线EF的垂线,垂足依次是M、N、J、K.
∵BM⊥EF、DK⊥EF,∴BM∥DK,∴△BGM∽△DGK,∴BM/DK=BG/DG=2,
∴BM=2DK.······①
∵CJ⊥EF、HN⊥EF,∴CJ∥HN,∴△CGJ∽△HGN,∴CJ/HN=CG/HG=2,
∴HN=CJ/2.······②
①+②,得:BM+HN=2DK+CJ/2.······③
∵S(△BGH)=(1/2)BG×HGsin∠BGH=DG×HGsin∠BGH=DG×HGsin∠CGD、
S(△CGD)=(1/2)CG×DGsin∠CGD=HG×DGsin∠CGD,
∴S(△BGH)=S(△CGD),
又S(△BGH)=S(△HEG)+S(△BEG)=(1/2)GE×HN+(1/2)GE×BM,
S(△CGD)=S(△DFG)+S(△CFG)=(1/2)GF×DK+(1/2)GF×CJ,
∴(1/2)GE×HN+(1/2)GE×BM=(1/2)GF×DK+(1/2)GF×CJ,
∴GE(BM+HN)=GF(DK+CJ).······④
由③、④,得:GE(2DK+CJ/2)=GF(DK+CJ)=2GF(DK/2+CJ/2),
∴GE(DK/2+CJ/2)+GE×[(3/2)DK]=2GF(DK/2+CJ/2).
显然有:DK≧0,
∴GE(DK/2+CJ/2)≦GE(DK/2+CJ/2)+GE×[(3/2)DK]=2GF(DK/2+CJ/2),
而DK/2+CJ/2>0,∴GE≦2GF.
优质解答
∵BM⊥EF、DK⊥EF,∴BM∥DK,∴△BGM∽△DGK,∴BM/DK=BG/DG=2,
∴BM=2DK.······①
∵CJ⊥EF、HN⊥EF,∴CJ∥HN,∴△CGJ∽△HGN,∴CJ/HN=CG/HG=2,
∴HN=CJ/2.······②
①+②,得:BM+HN=2DK+CJ/2.······③
∵S(△BGH)=(1/2)BG×HGsin∠BGH=DG×HGsin∠BGH=DG×HGsin∠CGD、
S(△CGD)=(1/2)CG×DGsin∠CGD=HG×DGsin∠CGD,
∴S(△BGH)=S(△CGD),
又S(△BGH)=S(△HEG)+S(△BEG)=(1/2)GE×HN+(1/2)GE×BM,
S(△CGD)=S(△DFG)+S(△CFG)=(1/2)GF×DK+(1/2)GF×CJ,
∴(1/2)GE×HN+(1/2)GE×BM=(1/2)GF×DK+(1/2)GF×CJ,
∴GE(BM+HN)=GF(DK+CJ).······④
由③、④,得:GE(2DK+CJ/2)=GF(DK+CJ)=2GF(DK/2+CJ/2),
∴GE(DK/2+CJ/2)+GE×[(3/2)DK]=2GF(DK/2+CJ/2).
显然有:DK≧0,
∴GE(DK/2+CJ/2)≦GE(DK/2+CJ/2)+GE×[(3/2)DK]=2GF(DK/2+CJ/2),
而DK/2+CJ/2>0,∴GE≦2GF.
本题链接: