已知a＞2，b＞1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为______．

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已知a＞2，b＞1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为______．

2022-09-19 08:29:48 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知a＞2，b＞1，且满足ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵ab=a+2b+1，
∴a=

2b+1

b−1

=2+

3

b−1

，
∴2a+b=4+

6

b−1

+b=（b-1）+

6

b−1

+5，
∵b＞1，
∴b-1＞0，则（b-1）+

6

b−1

≥2

6

，当且仅当b-1=

6

时取等号，
∴2a+b=（b-1）+

6

b−1

+5≥2

6

+5．
∴2a+b的最小值为2

6

+5．
故答案为：2

6

+5．

根据ab=a+2b+1可将a用b表示，然后消去2a+b中的a，根据b的范围利用基本不等式求出最值即可，注意等号成立的条件．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题时需注意等号成立的条件，同时考查了消元法的思想，属于中档题．

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