已知函数f（x+2）为奇函数，且满足f（6-x）=f（x），f（3）=2，则f（2008）+f（2009）的值为（　　）A. 0B. 2C. -2D. 2009

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已知函数f（x+2）为奇函数，且满足f（6-x）=f（x），f（3）=2，则f（2008）+f（2009）的值为（　　）A. 0B. 2C. -2D. 2009

2022-08-15 10:32:24 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x+2）为奇函数，且满足f（6-x）=f（x），f（3）=2，则f（2008）+f（2009）的值为（　　）
A. 0
B. 2
C. -2
D. 2009

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由已知得f（-x+2）=-f（x+2），所以f（x）=-f（4-x），
又f（6-x）=f（x），
∴f（6-x）=-f（4-x），
令4-x=t，则f（2+t）=-f（t），f[2+（2+t）]=-f（2+t）=f（t），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），
又f（1）=-f（4-1）=-2，由f（6-x）=f（x）得：f（4）=f（2）；
由f（x+4）=f（x）得：f（0）=f（4）；①
由f（x）=-f（4-x）得：f（0）=-f（4）；②
①+②得：f（0）=0，
∴f（2008）+f（2009）=-2．
故选C．

由函数f（x+2）为奇函数，f（-x+2）=-f（x+2）⇒f（x）=-f（4-x），与条件f（6-x）=f（x）联立⇒f（x+4）=f（x），从而可求得f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），利用上面的关系式容易求得f（1）、f（0）的值，问题即可解决．

本题考点：函数的周期性；函数的值．

考点点评：本题考察函数的周期性，关键在于灵活代换，例如得到f（6-x）=-f（4-x）后，令4-x=t，可得f（4+t）=f（t），属于中档题．

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