题目内容：

已知曲线C₁：（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线l：y=2x．
（1）求证：直线l与曲线C₁，C₂都相切，且切于同一点；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于M，N，P，记f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）设直线x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）与曲线C₁和C₂的交点分别为A_m和B_m，问是否存在正整数n，使得AB=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． （本小题参考数据e≈2.7）．