已知函数f(x)＝x2+1ax+b是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

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已知函数f(x)＝x2+1ax+b是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

2022-11-25 08:46:59 31次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f(x)＝
x2+1
ax+b
是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）因为f（-x）=-f（x）即

x2+1

−ax+b

＝−

x2+1

ax+b

所以-ax+b=-ax-b∴b=0，又f（1）=2，所以

a+b

＝2，∴a＝1
（2）由（1）得f(x)＝

x2+1

＝x+

设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，则f(x1)−f(x2)＝x1+

−(x2+

)=x1−x2+

−

＝

(x1−x2)(x1x2−1)

x1x2

，因为x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

（1）由函数f(x)＝

x2+1

ax+b

是奇函数得f（-x）=-f（x）即

x2+1

−ax+b

＝−

x2+1

ax+b

恒成立，化简得b=0，再由f（1）=2，可求得a值．
（2）由（1）得f(x)＝

x2+1

＝x+

，设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），将差化简为几个因子的乘积，再判断差的符号，用定义判断出结论．注意用定义法证明时的步骤．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题考点是函数的性质，主要考查函数奇偶性与单调性，是函数性质中的一道常规题型，是近几年高中教学中考查函数性质时常用的模式．

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