题目内容：

用二项式定理证明：
（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除；
（2）（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

优质解答

（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4×6ⁿ+5n-4=4×（1+5）ⁿ+5n-4 
=4×[1+

C

1 n

×5+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]+5n-4=25n+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]，显然能被25整除．
（2）∵(

3

2

)n−1=(1+

1

2

)n−1=1+（n-1）×

1

2

+

C

2 n−1

×(

1

2

)2+…+(

1

2

)n−1＞1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
∴（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．