题目内容：

如图，在正方形ABCD中，F是边BC上一点（点F与点B、点C均不重合），AE⊥AF，AE交CD的延长线于点E，连接EF交AD于点G．
（1）求证：BF•FC=DG•EC；
（2）设正方形ABCD的边长为1，是否存在这样的点F，使得AF=FG．若存在，求出这时BF的长；若不存在，请说明理由．

优质解答

（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAD=90°（1分）
又∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°
∴∠BAD=∠EAF，即∠BAF+∠FAD=∠EAD+∠DAF
∴∠BAF=∠EAD（1分）
∴△BAF≌△EAD，∴BF=DE．（1分）
∵AD∥BC，
∴

DG

FC

＝

ED

EC

．∴

DG

FC

＝

BF

EC

．（2分）
∴BF•FC=DG•EC．（1分）
（2）设BF=x，则FC=1-x，EC=1+x，
若AF=FG，则∠FAG=∠FGA
∵AD∥BC，∴∠BFA=∠FAG，∠CFE=∠FGA
∴∠BFA=∠CFE，（1分）
又∠ABF=∠ECF=90°
∴△ABF∽△ECF．（1分）
∴

BF

AB

＝

FC

EC

，即：

x

1

＝

1−x

1+x

．（2分）
∴x²+2x-1=0．（1分）
解得：x＝

2

−1．（负根舍去）（1分）
（注：求解的方法很多，参照上述步骤给分．）