题目内容：

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁上的动点，F为棱BC的中点．

（1）求证：直线AE⊥DA₁
（2）求直线DF与平面A₁B₁CD所成角的正弦值
（3）若E为C₁D₁的中点，在线段AA₁求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．

优质解答

证明：（1）∵A₁D⊥D₁A，D₁A⊥D₁E，∴A₁D⊥平面D₁AE，∵AE⊂平面D₁AE，∴A₁D⊥AE
（2）设正方体的棱长为2，取CC₁的中点M，连接FM交CB₁与O，则FO=

2

2

∵C₁B⊥B₁C，C₁B⊥CD∴C₁B⊥平面A₁B₁CD，∵FM∥C₁B，∴FM⊥平面A₁B₁CD
∴∠FDO就是直线DF与平面A₁B₁CD所成角
在三角形FDO中，sin∠FDO=

FO

FD

=

2 2

5

=

10

10

（3）存在，G点即为A₁点，由（1）可证得AE⊥DA₁，取CD的中点H，由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE
∵DFA₁D=D，∴AE⊥平面DFG