题目内容：

已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.

优质解答

因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.

追问：

QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) ， 关于这一步，老师，我认为应该是 QABQ^-1=...=QP^TPQ^T=(PQ^T)^TPQ^T才对吧？ 而且，为什么能判定(PQ^T)^TPQ^T正定？ 谢谢！

追答：

你说的对, 我忘加转置符号了! 因为它与单位矩阵合同, 所以正定. 相当于可以表示为 C^TC 的形式(C可逆)