数学奥林匹克高中训练题_115考试题库

数学奥林匹克高中训练题_115考试试题及答案

1：已知在凸四边形所在的平面外有一点，又知、、、、、分别为、、、、、的中点，则（） A. 、、、四点共面，且 B. 、、、四点不共面，且 C. 、、、四点共面，且 D. 、、、四点不共面，且......
2：已知复数的模等于，则动点所在的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线......
3：阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误。题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边。证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可.........
4：由整数集到自然数集的一个一一对应是______.......
5：已知等比数列满足，则的取值范围为______.......
6：已知，且则的取值范围为______.......
7：如图，在三棱柱中，，，，则侧面的面积为______.......
8：把椭圆的长轴分成2008等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆上半部分于，，…，.取，联结，，…，.则______.......
9：以为直径的圆上每一点都染上了红、黄、蓝三色之一，已知、染上了红色，联结圆上的点组成三角形，给出4个结论： ①必定存在一个直角三角形，三个顶点同为红色； ②必定存在一个直角三角形，三个顶点同色； ③必定.........
10：对任意的整数，代数式的值被9除的余数不会是（） A. 0 B. 1 C. 6 D. 7......
11：已知可导函数满足，则当时，与之间的关系为（） A. B. C. D. 不能确定，与或有关......
12：连续掷骰子两次得到的点数分别为、，作向量，则与向量的夹角成为直角三角形内角的概率是（） A. B. C. D.......
13：已知数列的前项和为，且。（1）证明：，并求的通项公式；（2）构造数列求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.......
14：求证：且.......
15：如图，线段、交于点，在的延长线上任取一点，得凸四边形，求证：、、的外接圆三圆共点。......
16：已知非零实数、、、满足（1）求证：二次方程①必有实根，且是方程的一个实根；（2）当，时，求、.......
17：阅读下面的类比过程。（1）在一维直线上，线段是一个封闭的中心对称图形，有命题1：不重合的两点决定一条线段；（2）在二维平面上，圆是一个封闭的中心对称图形，有命题2：不共线的三点决定一个圆；（3）.........
18：过双曲线的焦点作直线与双曲线的两条准线交于两点、，如果以为直径的圆经过原点，求.......

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