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如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长
题目内容:
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cosA的值.
优质解答
(1)证明:连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
(2) 由(1)知OD∥AE,
∴∠FOD=∠FAE,∠FDO=∠FEA,
∴△FOD∽△FAE,
∴FO FA
=OD AE
∴FC+OC FC+AC
=OD AB-BE
∴FC+2 FC+4
=2 4-1
解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中,cos∠FAE=AE AF
=AB-BE AF
=4-1 6
=1 2
.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cosA的值.
优质解答
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
(2) 由(1)知OD∥AE,
∴∠FOD=∠FAE,∠FDO=∠FEA,
∴△FOD∽△FAE,
∴
FO |
FA |
OD |
AE |
∴
FC+OC |
FC+AC |
OD |
AB-BE |
∴
FC+2 |
FC+4 |
2 |
4-1 |
解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中,cos∠FAE=
AE |
AF |
AB-BE |
AF |
4-1 |
6 |
1 |
2 |
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