题目内容：

抛物线y=ax²+2x+3（a＜0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，而且经过点（2，3）．
（1）写出抛物线的解析式及C、D两点的坐标；
（2）连接BC，以BC为边向右作正方形BCEF，求E、F两点的坐标；若将此抛物线沿其对称轴向上平移，试判断平移后的抛物线是否会同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F？若能，写出平移后的抛物线解析式；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线y=ax²+2x+3上任意一点，过点P作直线垂直于抛物线y=ax²+2x+3的对称轴，垂足为Q，那么是否存在着这样的点P，使以P、Q、D为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．