若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

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若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

2022-10-10 04:08:29 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

优质答案解析

王老师

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（a+b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6∵a3+b3=2⇒6=3×2=3（a3+b3）∴（a+b）3-23=3（a2b+ab2-a3-b3）=3[ab（a+b）-（a3+b3）]又∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）∴（a+b）3-23=3（a+b）[ab-（a2-ab+b2）]=3（a+b...

注意到已知条件是含有三次方的式子，因此想到将欲求证的式两边取三次方，再作差后利用用已知条件a³+b³=2代入得（a+b）³-2³=3a²b+3ab²-6=3（a²b+ab²-2），再利用已知条件2=a³+b³代入，再用立方和公式因式分解，提公因式可得（a+b）³-2³=-3（a+b）（a-b）²≤0．从而得到a+b≤2，最后结合基本不等式2

≤a+b=2，得到ab≤1．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题借助于一个特殊不等式的证明为载体，着重考查了作差法比较大小、因式分解的技巧和基本不等式的证明等知识点，属于中档题．

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若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

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若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

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