巳知三角形三边为a,b,c 设p=1/2(a+b+c) 求证三角形面积s=根号p(p-a)(p-b)(p-c)

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巳知三角形三边为a,b,c 设p=1/2(a+b+c) 求证三角形面积s=根号p(p-a)(p-b)(p-c)

2022-01-22 20:56:12 27次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

巳知三角形三边为a,b,c 设p=1/2(a+b+c) 求证三角形面积s=根号p(p-a)(p-b)(p-c)

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

这是海伦-秦九韶公式.用于求三角形面积.
△ABC中,cosC=(a²+b²-c²)/2ab
而△ABC面积S=0.5absinC
=0.5ab√(1-cos²C)
=0.5ab√[1-(a²+b²-c²)²/4a²b²]
=0.25√[4a²b²-(a²+b²-c²)²]
=0.25√[(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)]
=0.25√[(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]
=0.25√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2；
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

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