计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}．

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计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}．

2022-07-04 08:37:20 10次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

计算二重积分
∫∫
D
(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x²+y²≤x+y+1}．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

做变量代换X＝x−

1

2

，Y＝y−

1

2

，
则D={（x，y）|x²+y²≤x+y+1}={（X，Y）|X²+Y²≤

3

2

}，
所以：
I=

∬

D

(x+y)dxdy=

∬

D

(X+Y+1)dXdY=

∬

D

XdXdY+

∬

D

YdXdY+

∬

D

dXdY．
因为D在（X，Y）坐标系下是一个圆，且X，Y分别是关于X，Y的奇函数，
所以有：

∬

D

XdXdY=0，

∬

D

YdXdY=0，
又：易知

∬

D

dXdY=S_D=

3

2

π，
所以：I=

3

2

π．

注意到D={（x，y）|x²+y²≤x+y+1}={（x，y）|(x−

1

2

)2+(y−

1

2

)2≤

3

2

}，做变量代换X＝x−

1

2

，Y＝y−

1

2

．

本题考点：二重积分的计算．

考点点评：本题考查了二重积分的计算，关键的步骤是做变量代换X＝x−

1

2

，Y＝y−

1

2

，并能注意到

∬

D

XdXdY=0，

∬

D

YdXdY=0．

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