若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．

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若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．

2022-09-26 17:03:54 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
(a+b)2
4
．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a²xy+b²xy+abx²+aby²-ab
=xy（a²+b²）+ab（x²+y²-1）
=xy（a²+b²）+ab[（x+y）²-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a²+b²）-2abxy
=xy（a-b）²≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[

(ax+by)+(ay+bx)

]2=[

a(x+y)+b(x+y)

]2=(

a+b

)2=

(a+b)2

．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

．

依题意，先作差（ax+by）（ay+bx）-ab后化积即可证得ab≤（ax+by）（ay+bx），再利用基本不等式对（ax+by）（ay+bx）放缩，即可证得（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

，从而原结论可证．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法与放缩法的综合应用，考查推理证明的能力，属于中档题．

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若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．

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若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
(a+b)2
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