题目内容：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD． 

（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角P-AB-D余弦值．

优质解答

（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）过D作DO⊥AB交AB于O，连接PO，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠POD为二面角P-AB-D的平面角．
在Rt△ABD中，∵AD=1，∠ABD=30°，
∴AB＝2，BD＝

3

，∴DO＝

3

2

，
而PD=AD=1，在Rt△PDO中，PD＝1，DO＝

3

2

，
∴PO＝

7

2

，
∴cos∠POD＝

DO

PO

＝

21

7

．
∴二面角P-AB-D余弦值为

21

7

．