题目内容：

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

1

2

DC，DC=

3

BC，E为PD中点．

（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

优质解答

（1）证明：取PC的中点为F，连接EF，则EF为△PDC的中位线，即EF平行且等于

1

2

DC．
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF⊂平面PBC，
∴四边形AEFB为矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）证明：∵△PBC为正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延长CB交DA于B^/，连接PB^/，设BC=a，
∵AB=

1

2

DC，
∴BB^/=BP=a，取B^/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B^/P，由三垂线定理知，AH⊥B^/P，
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=

3

2

a，AH=a，∴sin∠AHB=

3

2

，∠AHB=

π

3

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为

π

3

．（12分）