题目内容：

已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）=2x³-3x²在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

优质解答

（1）当a=1时，f（x）=xlnx，则求导函数，可得f′（x）=lnx+1．
x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1，即x-y-1=0
（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e^-a，则函数在（0，e^-a）上单调递减，在（e^-a，+∞）上单调递增，
若e＜e^-a，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（e）=ae；
若

1

e

≤e^-a≤e，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（e^-a）=-e^-a；
若

1

e

＞e^-a，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（

1

e

）=

a

e

；
（3）f（x）=2x³-3x²等价于xlnx+（a-1）x=2x³-3x²，即lnx+（a-1）=2x²-3x，
∴a=2x²-3x+1-lnx在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，
令g（x）=2x²-3x+1-lnx，则g′（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x−1)

x

∵x∈[

1

2

，2]，
∴函数在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∵g（

1

2

）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，
∴a=2x²-3x+1-lnx在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，应满足0＜a≤ln2．