题目内容：

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m（m>0）．P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E．

（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值；
（3）若m=12，DE=1，求BP的长．

优质解答

（1）∵矩形ABCD中，∠B=90°，PE⊥AP，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE；
 
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP=CP=

1

2

m，CE=2，
∵△ABP∽△PCE，
∴

BP

CE

=

AB

PC

，
∴

1 2 m

2

=

4

1 2 m

，
解得m₁=4

2

，m₂=-4

2

（舍去），
∴m的值为4

2

；

（3）设BP的长为x，
∵△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，
当点E在线段CD上时，CE=2，
∴

4

12-x

=

x

3

解得x₁=6+2

6

，x₂=6-2

6

；
当点E在CD的延长线上时，CE=5，
∴

4

12-x

=

x

5

，
解得x₃=2，x₄=10，
∴BP的长为6+2

6

，6-2

6

，2，10．