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【空间向量怎样过定点求平面法向量】
题目内容：
空间向量怎样过定点求平面法向量优质解答
(43) 平面法向量的求法及其应用
嵩明县一中 吴学伟
引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结.其中重点介绍外积法求平面法向量的方法,因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面.此方法的引入,将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松.
一、 平面的法向量
1、定义：如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量.平面 的法向量共有两大类（从方向上分）,无数条.
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 内任找两个不共线的向量 .由 ,得 且 ,由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 .
方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之,任何一个平面的方程是 的一次方程. ,称为平面的一般方程.其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量.
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 为一长度等于 ,（θ为 , 两者交角,且 ）,而与 , 皆垂直的向量.通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为 的方向, .
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则.）
例1、 已知, ,
试求（1）： （2）：
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 中,
求平面AEF的一个法向量 .
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1,设 是平面 的法向量,
AB是平面 的一条斜线, ,则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为：
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角.约定,在图2-2中, 的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内；在图2-3中, 的方向对平面 而言向内, 的方向对平面 而言向内.我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”,满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角.
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ,
求a、b的法向量 ,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量 ；
③求向量 在 上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
,其中
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
为平面α内任一点,平面的法向量为 ,则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线 与平面 之间的距离：
,其中 . 是平面 的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：
,其中 . 是平面 、 的法向量.
3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图2-8中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ）.
（2）、证明线面平行：在图2-9中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）.
（3）、证明面面垂直：在图2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直（ ）
（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线（ ）.
三、高考真题新解
1、（2005全国I,18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
, ,设平面PAD的法向量为
, ,设平面PCD的法向量为
, ,即平面PAD 平面PCD.
, ,
, ,设平在AMC的法向量为 .
又 ,设平面PCD的法向量为 .
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为 .
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3-2,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,
已知AB＝AA1＝a,BC＝ a,M是AD的中点.
(Ⅰ)求证：AD‖平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离.
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
, ,设平面A1BC的法向量为
又 , , ,即AD//平面A1BC.
, ,设平面A1MC的法向量为: ,
又 , ,设平面A1BD1的法向量为: ,
, ,即平面A1MC 平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又 , A点到平面A1MC的距离为: .
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）
优质解答
嵩明县一中 吴学伟
引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结.其中重点介绍外积法求平面法向量的方法,因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面.此方法的引入,将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松.
一、 平面的法向量
1、定义：如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量.平面 的法向量共有两大类（从方向上分）,无数条.
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 内任找两个不共线的向量 .由 ,得 且 ,由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 .
方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之,任何一个平面的方程是 的一次方程. ,称为平面的一般方程.其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量.
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 为一长度等于 ,（θ为 , 两者交角,且 ）,而与 , 皆垂直的向量.通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为 的方向, .
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则.）
例1、 已知, ,
试求（1）： （2）：
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 中,
求平面AEF的一个法向量 .
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1,设 是平面 的法向量,
AB是平面 的一条斜线, ,则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为：
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角.约定,在图2-2中, 的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内；在图2-3中, 的方向对平面 而言向内, 的方向对平面 而言向内.我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”,满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角.
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ,
求a、b的法向量 ,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量 ；
③求向量 在 上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
,其中
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
为平面α内任一点,平面的法向量为 ,则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线 与平面 之间的距离：
,其中 . 是平面 的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：
,其中 . 是平面 、 的法向量.
3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图2-8中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ）.
（2）、证明线面平行：在图2-9中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）.
（3）、证明面面垂直：在图2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直（ ）
（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线（ ）.
三、高考真题新解
1、（2005全国I,18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
, ,设平面PAD的法向量为
, ,设平面PCD的法向量为
, ,即平面PAD 平面PCD.
, ,
, ,设平在AMC的法向量为 .
又 ,设平面PCD的法向量为 .
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为 .
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3-2,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,
已知AB＝AA1＝a,BC＝ a,M是AD的中点.
(Ⅰ)求证：AD‖平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离.
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
, ,设平面A1BC的法向量为
又 , , ,即AD//平面A1BC.
, ,设平面A1MC的法向量为: ,
又 , ,设平面A1BD1的法向量为: ,
, ,即平面A1MC 平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又 , A点到平面A1MC的距离为: .
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）
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