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数学奥林匹克高中训练题_180考试试题及答案
1：
已知，且x+y+z=6,则的最大值为________。......
2：
已知数列满足，且，则与最接近的自然数为________。......
3：
在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r的圆完全落在区域内，则r的最大值为________。......
4：
设函数，若对任何x∈[0,1]，均有f(x)≥0，则k的最小值为________。......
5：
已知-个球与棱长为a的正四面体的六条棱均相切，则此球的体积为________。......
6：
在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________。......
7：
201把椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n个人中的一人坐在相邻的椅子上。则n的最小值为________。......
8：
对给定自然数n≥2，求满足下列条件的最大的N：无论怎样将填人一个n×n的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N。......
9：
证明：存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d)： （1）a>c>0，(a,c)=1； （2）对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)|(cn+d)。......
10：
设是给定的自然数，，对个给定的实数，记的最小值为.求在的条件下，上述的最大值.......
11：
将△ABC的边BC、BA分别延长到点E、F，使AE=BE，BF=CF，EA与FC交于点D，设H、0分别是△ABC的垂心、外心，证明：直线HO过点D。......
12：
椭圆与双曲线有公共焦点(±c,0)(c>0)，与的离心率之差不超过1，且有一条渐近线斜率不小于与x轴正半轴分别交于点A、B，且两曲线在第一象限的交点为D。问：△ABD的面积是否有最大值？若有，求出最大.........
13：
已知函数，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.......
14：
设.对所有不同的子集，有.证明：.......
15：
将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个5×5的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往.........
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