2009年全国高中数学联合竞赛试卷考试题库

2009年全国高中数学联合竞赛试卷考试试题及答案

1：若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．......
2：椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．......
3：使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．......
4：在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．......
5：已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．......
6：若函数，且．则 ______．......
7：在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列（）均存在某个使得．① 求证：（1）最小值（）一定去自数表的不同.........
8：设是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数（），使得与互质．......
9：求证：不等式（）......
10：如图，分别为锐角（）的外接圆圆上弧的中点．过点作交圆于点为的内心，联结并延长交圆于点，求证：（1）；（2）在弧（不含点）上任取一点（），记的内心分别，则四点共圆．......
11：求函数的最大值和最小值．......
12：已知（是实数，方程有两个实根，数列满足（）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．......
13：(本题14分) 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．......
14：某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精.........
15：一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）......

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