已知ab−c＝bc−a＝ca−b，求证：a3+b3+c3=3abc．

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已知ab−c＝bc−a＝ca−b，求证：a3+b3+c3=3abc．

2022-02-08 14:48:09 56次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知
a
b−c
＝
b
c−a
＝
c
a−b
，求证：a³+b³+c³=3abc．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：∵

b−c

c−a

a−b

b+c

(c−a)+(a−b)

b+c

c−b

，即

b−c

b+c

c−b

b+c

b−c

，
∴a=-（b+c），
∴a³+b³+c³
=[-（b+c）]³+b³+c³
=-（b+c）³+（b+c）（b²-bc+c²）
=（b+c[-（b+c）²+b²-bc+c²]
=（b+c）（-b²-2bc-c²+b²-bc+c²）
=-a•（-3bc）
=3abc．
∴a³+b³+c³=3abc（证毕）．

利用合比定理可知

b−c

b+c

b−c

⇒a=-（b+c），代入所证关系式的左端，利用立方和公式即可证得左端=右端．

本题考点：综合法与分析法(选修）．

考点点评：本题考查综合法与分析法的应用，考查转化思想与推理论证能力，属于难题．

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已知ab−c＝bc−a＝ca−b，求证：a3+b3+c3=3abc．

题目内容：

已知
a
b−c
＝
b
c−a
＝
c
a−b
，求证：a³+b³+c³=3abc．

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