函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（　　）A. 1B. 2C. 3D. 4

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函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（　　）A. 1B. 2C. 3D. 4

2022-10-26 16:05:13 24次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax³-3x+1≥0恒成立，
①当x=0时，显然ax³-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax³-3x+1≥0即a≥

3x−1

，等价于a≥(

3x−1

)max，
令f（x）=

3x−1

，则f′（x）=

3−6x

，
当0＜x＜

时，f′（x）＞0，f（x）递增；当

＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）_max=f（

）=

−1

=4，
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax³-3x+1≥0即a≤

3x−1

，等价于a≤(

3x−1

)min，
此时f（x）=

3x−1

，f′（x）=

3−6x

＞0，f（x）递增，
∴f（x）_min=f（-1）=

−3−1

(−1)3

=4，
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax³-3x+1≥0恒成立，分x=0，0＜x≤1，-1≤x＜0三种情况进行讨论，其中x=0时易知a的范围，另两种情况分离出参数a后转化为函数最值即可解决，而最值可用导数求出．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决的能力．

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