已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若bn＝nan求数列{bn}的前n项和Sn．

2022-10-18 23:54:12 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（Ⅰ）n=1时，a₁=

∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

…..（1）
∴n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n=

n−1

…．（2）
（1）-（2）得2n−1an＝

即an＝

又a1＝

也适合上式，∴an＝

（Ⅱ）bn＝n•2n，∴Sn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n（3）
2Sn＝1•22+2•23+…+(n−1)•2n+n•2n+1（4）
（3）-（4）可得-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1−2n)

1−2

−n•2n+1＝2n+1−2−n•2n+1
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2

（Ⅰ）利用a1+2a2+2a3…+2n−1an＝

，再写一式，两式相减，即可得到结论；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项S_n和．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列的通项，利用错位相减法求和．

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