若有界集E满足条件:inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E},证明E是可测集

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若有界集E满足条件:inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E},证明E是可测集

2022-10-03 20:26:10 5次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若有界集E满足条件:inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E},证明E是可测集

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设 inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E} = a.
由已知条件可得：
1.存在开集列 Gn,n= 1,2,...,使得：E包含于Gn,并且 G(n+1) 包含于Gn,m(Gn) < a + 1/n.
2.存在紧集列 Kn,n= 1,2,...,使得：Kn包含于E,并且 Kn 包含于K(n+1),m(Kn) > a - 1/n.
定义 G0 = 所有Gn的交集.K0 = 所有Kn的并集.于是 G0,K0可测,并且 m(G0)=m(K0)=a,同时,K0 包含于E 包含于G0.===》
E = K0 + (E-K0),其中 K0 可测,E-K0 包含于零测集 G0-K0,于是也可测.所以 E可测.

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