设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：x∈[1，2]时，f(x)−3＜1x成立．

2022-10-08 17:06:04 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′(x)＝

x+1

+a
当a＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，由f′（x）＞0得−1＜x＜−

；由f′（x）＜0得x＞−

∴函数f（x）在（−1，−

）上是增函数，在(−

，+∞)上是减函数；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=ln（x+1）+x
要证x∈[1，2]时，f(x)−3＜

成立，
即证明ln（x+1）+x-

-3＜0在[1，2]上恒成立，
令g（x）=ln（x+1）+x-

-3，易得函数g（x）在x∈[1，2]时单调递增
∵g（1）=0，
则g（x）≥0
∴x∈[1，2]时，f(x)−3＜

成立．

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（Ⅱ）要证x∈[1，2]时，f(x)−3＜1x成立，由于x＞0，则只需证明ln（x+1）+x-1x-3＜0在[1，2]上恒成立，构造函数g（x）=ln（x+1）+x-1x-3，确定函数的单调性，即可得证．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，确定函数的单调性是关键．

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