已知abc是不全相等的正数,求证：2(a&#179;+b&#179;+c&#179;)>a&#178;(b+c)+b&#178;（c+a）+c&#178;（a+b）

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已知abc是不全相等的正数,求证：2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）

2022-02-26 08:37:00 35次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知abc是不全相等的正数,求证：2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

此题考查平均值不等式：(x1³+x2³+x3³)/3≥(x1x2x3)^(1/3)
证明：
2(a³+b³+c³)
=2a³+2b³+2c³
=(a³+a³+b³)/3+(a³+a³+c³)/3+(b³+b³+a³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3+(c³+c³+b³)/3
≥(a³*a³*b³)^(1/3)+(a³*a³*c³)^(1/3)+(b³*b³*a³)^(1/3)+(b³*b³*c³)^(1/3)+(c³*c³*a³)^(1/3)+(c³*c³*b³)^(1/3)
=a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
=a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)
取等条件为a=b=c
根据题意,a,b,c不全相等,故等号无法取到,因此：
2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）
证毕.

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已知abc是不全相等的正数,求证：2(a³+b³+c³)>a²(b+c)+b²（c+a）+c²（a+b）

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