点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

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点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

2022-07-23 20:22:56 21次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：由已知中点O为点A在平面BCD内的射影，
∴AO⊥平面BCD，即AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD
∵AC⊥BD，AC∩AO=A
∴BD⊥平面OAC，BD⊥CO，
同理由AD⊥BC可证BC⊥D0，
即O为△BCD的垂心，
∴CD⊥OB，又由OB∩AO=0
∴CD⊥平面AOB
又由AB⊂平面AOB
∴AB⊥CD

由已知中点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，可得AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD，进而利用线面垂直与线线垂直之间的辩证关系，我们易得到O为△BCD的垂心，再由线面垂直的判定定理得到CD⊥平面AOB，最后由线面垂直的性质得到AB⊥CD．

本题考点：直线与平面垂直的性质．

考点点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与平面垂直的判定定理及性质定理，是解答本题的关键．

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