函数f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_____

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函数f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是______．

2022-01-24 04:28:21 94次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

函数f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

令u=x²-2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x²-2ax+1+a=（x-a）²-a²+a+1，故对称轴为x=a
如图所示：

由图象可知当对称轴a≥1时，u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，
又真数x²-2ax+1+a＞0，二次函数u=x²-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x²-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x²-2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故答案为：[1，2）

复合函数f（x）=lg（x²-2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x²-2ax+1+a＞0，且函数u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．

本题考点：复合函数的单调性．

考点点评：y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．

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