设f（x）=sinx-∫x0(x−t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f（x）．

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设f（x）=sinx-∫x0(x−t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f（x）．

2022-09-23 06:38:18 10次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设f（x）=sinx-
∫
x
0
(x−t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f（x）．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由f（x）的表达式知，f（x）可导
又∵f（x）=sinx-

x∫

x

0

f(t)dt+

∫

x

0

tf(t)dt
∴f′（x）=cosx-xf（x）+xf（x）=cosx
即f′（x）=cosx
两边积分得：
f（x）=sinx+C．（C为任意常数）

函数f（x）中含有变上限积分，且积分函数也有f．要求出f（x），变上限积分是无法求出来，但是可以根据导数建立起f（x）和f'（x）的关系．然后解微分方程即可．

本题考点：连续函数的性质．

考点点评：注意在对变上限积分函数求导时，要把它分解成两个之差，并且把x提出到积分号的外面．

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