若函数f（x）=（1+cosx）10+（1-cosx）10，x∈[0，π]，则其最大值等于（　　）A. 2048B. 512C. 2D. 1024

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若函数f（x）=（1+cosx）10+（1-cosx）10，x∈[0，π]，则其最大值等于（　　）A. 2048B. 512C. 2D. 1024

2022-08-31 17:17:12 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若函数f（x）=（1+cosx）¹⁰+（1-cosx）¹⁰，x∈[0，π]，则其最大值等于（　　）
A. 2048
B. 512
C. 2
D. 1024

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

按cosx的升幂排列，(1+cosx)10=1+

C

1

10

cosx+

C

2

10

cos2x+…+

C

10

10

cos10x，
(1-cosx)10=1-

C

1

10

cosx+

C

2

10

cos2x-…+

C

10

10

cos10x
两者相加时，cosx的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以f（x）=2[1+

C

2

10

cos2x+

C

4

10

cos4x+

C

6

10

cos6x+

C

8

10

cos8x+

C

10

10

cos10x]
又x∈[0，π]，则cosx偶数次幂的最大值为1，
所以f（x）最大值为：2[1+

C

2

10

+

C

4

10

+

C

6

10

+

C

8

10

+

C

10

10

]（1）
又

C

6

10

=

C

4

10

，

C

8

10

=

C

2

10

，

C

10

10

=1，
所以（1）式=4〔1+

C

2

10

+

C

4

10

〕=4〔1+

10×9

2

+

10×9×8×7

4×3×2

〕=1024，
故选：D．

根据二项式定理化简函数f（x）的解析式，再由余弦函数的性质和组合数公式求出函数f（x）的最大值．

本题考点：二倍角的余弦

考点点评：本题考查了余弦函数的性质，组合数公式，以及二项式定理的综合应用，属于难题．

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