已知函数f(x)=lnx+a/(x+1)(a属于R),求证ln（n+1）>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n +1)

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已知函数f(x)=lnx+a/(x+1)(a属于R),求证ln（n+1）>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n +1)

2022-09-17 07:10:29 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f(x)=lnx+a/(x+1)(a属于R),求证ln（n+1）>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n +1)

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：考虑函数f(x)=ln(1+1/x)-1/(2x+1),x>0.显然当x->+∞时,f(x)=0.
而f'(x)=-1/[n*(n+1)]+2/[(2n+1)^2]=1/(2n^2+2n+1/2)-1/(n^2+n)=-(n^2+n+1/2)/[(2n^2+2n+1/2)*(n^2+n)]=-[(n+1/2)^2+1/4]/[(2n^2+2n+1/2)*(n^2+n)]0时为单调递减函数,则必有x>0时f(x)=ln(1+1/x)-1/(2x+1)>0,于是有ln(1+1/x)>1/(2x+1),也即当x>0时,有
ln(x+1)-lnx>1/(2x+1)成立.于是
ln2-ln1>1/3
ln3-ln2>1/5
ln4-ln3>1/7
……
lnn-ln(n-1)>1/(2n-1)
ln(n+1)-lnn>1/(2n+1)
前述不等式左右两边分别相加,便得
ln(n+1)>1/3+1/5+1/7+…+1/(2n +1)

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已知函数f(x)=lnx+a/(x+1)(a属于R),求证ln（n+1）>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n +1)

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已知函数f(x)=lnx+a/(x+1)(a属于R),求证ln（n+1）>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n +1)

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