求证偶数阶反对陈行列式每个元素加上一个数入,行列式值不变

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求证偶数阶反对陈行列式每个元素加上一个数入,行列式值不变

2022-02-12 21:56:19 47次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

求证偶数阶反对陈行列式每个元素加上一个数入,行列式值不变

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

这个有意思!给你个证法.
证明:设A是偶数阶反对称矩阵,则A=
0 a12 ...a1n
-a12 0 ...a2n
......
-a1n -a2n ...0
每个数都加上k的行列式记为
|A(k)| =
k a12+k ...a1n+k
-a12+k k ...a2n+k
......
-a1n+k -a2n+k ...k
加边
1 k k ...k
0 k a12+k ...a1n+k
0 -a12+k k ...a2n+k
......
0 -a1n+k -a2n+k ...k
所有行减第1行
1 k k ...k
-1 0 a12 ...a1n
-1 -a12 0 ...a2n
......
-1 -a1n -a2n ...0
第1行写成两项的和
0+1 k+0 k+0 ...k+0
-1 0 a12 ...a1n
-1 -a12 0 ...a2n
......
-1 -a1n -a2n ...0
由行列式性质,按第1行分拆成两个行列式
0 k k ...k 1 0 0 ...0
-1 0 a12 ...a1n -1 0 a12 ...a1n
-1 -a12 0 ...a2n + -1 -a12 0 ...a2n
............
-1 -a1n -a2n ...0 -1 -a1n -a2n ...0
第1个行列式是一个奇数阶的反对称行列式,等于0
第2个行列式按第1行展开就等于原行列式.
所以:|A(K)| = |A|.

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