在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=

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在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=

2022-11-24 14:57:32 7次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2．
（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；
（2）求证：EG是PG与BC的公垂线段．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：（1）在△PAB中，连接BG延长线交AP与点M
∵G是△PAB的重心，
∴MG=

MB，
∵PF：FB=1：2，即PF=

PB，
∴GF∥PM
又PA、PB、PC两两垂直，
∴PA⊥平面PBC，又∵GF∥PA
∴GF⊥平面PBC
又∵GF⊂平面GEF
∴平面GEF⊥平面PBC；
（2）取EC的中点Q，连接FQ，
∵BE：EC=PF：FB=1：2
∴BQ：QC=2：1
∴FQ∥PC
∴FB=FQ
∴EF⊥BC
又∵GF⊥平面PBC
∴GF⊥BC
由GF∩EF=F
∴BC⊥平面GEF
∴EG⊥BC
取FB的中点N，则PG：GD=PN：NB=2：1
即GN∥BD
在等腰三角形PAB中，BD⊥PD
∴PG⊥GN
又∵PN：NB=CE：EB=2：1
∴NE∥PC
由又PA、PB、PC两两垂直，
∴PC⊥平面PAB，
又∵PG⊂平面PAB
∴PC⊥PG
∴NE⊥PG
又NE∩GN=N
∴PG⊥平面GNE
∴PG⊥EG
即EG是PG与BC的公垂线段

（1）根据PA、PB、PC两两垂直，则PA⊥平面PBC，而根据重心的性质可知GF∥PA，最后根据平行线的性质可得GF⊥平面PBC，进而由面面垂直的判定定理得到平面GEF⊥平面PBC；
（2）取EC的中点H，连接FH，利用平行线分线段成比例定理可得FH∥PC，进而可得FB=FH，进而由等腰三角形三线合一，可得EF⊥BC，结合（1）的结论及线面垂直的判定及性质定理，可得PG⊥GN，取FB的中点N，利用平行线分线段成比例定理可得GN∥BD，由等腰三角形PAB中，BD⊥PD，可得PG⊥GN，再平行线分线段成比例定理可得NE∥PC，进而根据已知判断出PC⊥平面PAB，进而PC⊥PG，NE⊥PG，结合线面垂直的判定及性质得到PG⊥EG，综合后可得EG是PG与BC的公垂线段

本题考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．

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