设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x3的系数为-581，则a= ___ ，limn→∞(a+a2+…+an)= __

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设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x3的系数为-581，则a= _ ，limn→∞(a+a2+…+an)= _ ．

2022-11-22 02:17:34 15次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设常数a＞0，(ax-
1
x
)5展开式中x³的系数为-
5
81
，则a= _ ，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)= _ ．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-

，∴a=

．故答案为

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a

（∵a＜1时，

lim

n→∞

aⁿ=0）
=

．
故答案为

．
方法2：由a=

，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（

lim

n→∞

s_n=a1
1-q），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

1-a

═

．
故答案为

．

（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）再求等比数列的前n项和，s_n=

a×(1−an)

1−a

，且

lim

n→∞

aⁿ=0（∵a＜1），从而得解．
方法2：由a=

＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．

本题考点：二项式定理；数列的极限．

考点点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，

lim

n→∞

aⁿ=0，方法2：要记住无穷递降等比数列各项和公式

lim

n→∞

s_n=

1−q

．在选择填空中可以加快速度．

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