已知点P（x0，y0）在直线x+y-2=0上，若圆O：x2+y2=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x0的取值范围为______．

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已知点P（x0，y0）在直线x+y-2=0上，若圆O：x2+y2=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x0的取值范围为______．

2022-11-14 14:53:17 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知点P（x₀，y₀）在直线x+y-2=0上，若圆O：x²+y²=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x₀的取值范围为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

过P作⊙C切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．反过来，如果∠OPR≥30°，则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°．∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则∠OPR≥30°．∵|OR|=1，∴|OP|＞2时不成立，∴|O...

根据圆的切线的性质，可知当过P点作圆的切线，切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OP构成直角三角形，因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍，再用含x₀的式子表示OP，即可求出x₀的取值范围．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．

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