高一多项式函数证明题多项式函数定义我就不多说了设f(x),g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g(x)]=

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高一多项式函数证明题多项式函数定义我就不多说了设f(x),g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g(x)]=

2022-11-15 10:03:56 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

高一多项式函数证明题
多项式函数定义我就不多说了
设f(x),g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g(x)]=g[f(x)]都成立
若方程f(x)=g(x)无实数解，证明方程f[f(x)]=g[g(x)]也无实数解

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

反证法.
设存在实数x0 使 f[f(x0)]=g[g(x0)] ,
则 g{f[f(x0)]}=g{g[g(x0)]} ,
由已知,上式左端=f{g[f(x0)]}=f{f[g(x0)]},
令 y0=g(x0) ,则 f[f(y0)]=g[g(y0)] ,也就是说,如果x0是方程 f[f(x)]=g[g(x)]的根,则y0=g(x0)也是其根.
同理,由 f[f(x0)]=g[g(x0)] ,则 f{f[f(x0)]}=f{g[g(x0)]}=g{f[g(x0)]}=g{g[f(x0)]} ,
令 z0=f(x0) ,则 f[f(z0)]=g[g(z0)] ,就是说,如果x0是方程 f[f(x)]=g[g(x)]的根,则z0=f(x0)也是其根.
这说明,若方程f[f(x)]=g[g(x)]有根x0,则 f(x0)=g(x0),这与f(x)=g(x)无实数解矛盾.
因此,若方程 f(x)=g(x)无实数解,则方程 f[f(x)]=g[g(x)] 也无实数解.

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设f(x),g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g(x)]=g[f(x)]都成立
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多项式函数定义我就不多说了
设f(x),g(x)为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g(x)]=g[f(x)]都成立
若方程f(x)=g(x)无实数解，证明方程f[f(x)]=g[g(x)]也无实数解