求微分方程y''-6y'+8y=xe的2x次方的通解.

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求微分方程y''-6y'+8y=xe的2x次方的通解.

2022-11-09 00:29:16 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

求微分方程y''-6y'+8y=xe的2x次方的通解.

优质答案解析

王老师

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r^2-6r+8=0 r=2 or r=4
齐次方程通C1e^(2x)+C2e^(4x)
xe^(2x) 中2是特征方程的解.所以设一个特解为：
y=x(ax+b)e^(2x)=(ax^2+bx)e^(2x)
y'=(2ax+b)e^(2x)+2(ax^2+bx)e^(2x)=(2ax^2+(2a+2b)x+b)e^(2x)
y''=(4ax+2a+2b)e^(2x)+2(2ax^2+(2a+2b)x+b)e^(2x)
y''=(4ax^2+(8a+4b)x+(2a+3b))e^(2x)
代入原方程：y''-6y'+8y=xe的2x
（4ax^2+(8a+4b)x+(2a+3b))-6(2ax^2+(2a+2b)x+b)+8(ax^2+bx)=x
(4a-12a+8a)x^2+(8a+4b-12a-12b+8b)x+(2a+3b-6b)=x
(-4a)x+(2a-3b)=x
-4a=1 a=-1/4 2a-3b=0 b=2a/3 =-1/6
所以特解为：y*=(-1/4x^2-1/6x)e^(2x)
通解为：C1e^(2x)+C2e^(4x)+(-1/4x^2-1/6x)e^(2x)

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