王老师
回答题目：2621条
§5 因式分解定理
一、不可约多项式
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定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积.
根据定义,一次多项式总是不可约多项式.
一个多项式是否可约是依赖于系数域的.
显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 .
定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 .
推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个.
二、因式分解定理
因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式
,
那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有
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其中 是一些非零常数.
应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.
在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为
,
其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式.
如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个.
由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.
若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.
例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.
