已知实数x，y，z满足x2+4y2+9z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是7，求a的值．

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已知实数x，y，z满足x2+4y2+9z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是7，求a的值．

2022-10-31 09:01:08 19次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知实数x，y，z满足x²+4y²+9z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是7，求a的值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，
∴

49

36

a≥(x+y+z)2（a＞0），
∴−

7

a

6

≤x+y+z≤

7

a

6

，
∵x+y+z的最大值是7，
∴

7

a

6

＝7，得a=36．
当x＝

36

7

，y＝

9

7

，z＝

4

7

时，x+y+z取最大值，因此a=36．

由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，可得出x+y+z的最大值，从而可根据最大值为7，建立关于a的方程解出a值即可．

本题考点：柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．

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