双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．

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双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．

2022-11-06 00:37:10 12次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

双曲线
x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设M（x₀，y₀）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F₂的距离等于它到左准线的距离|MN|，
即|MF₂|=|MN|，再由双曲线定义可知

|MF1|

|MN|

＝e

∴

|MF1|

|MF2|

＝e，
由焦点半径公式得

ex0+a

ex0−a

＝e

∴x0=

a(1+e)

e2−e

，
而 x0≥a

∴

a(1+e)

e2−e

≥a，即 e²-2e-1≤0，解得1−

2

≤e≤

2

+1，
但 e＞1 ∴1＜e≤

2

+1，即离心率e的取值范围是（1，

2

+1]．

根据双曲线的定义和焦半径公式求得 x₀=

a(1+e)

e2−e

，由x₀≥a，得到e²-2e-1≤0，解不等式求出离心率
e 的范围．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的定义、标准方程以及双曲线的简单性质的应用，得到 x₀=

a(1+e)

e2−e

，是解题的关键，
属于中档题．

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