已知递增的等比数列{an}，前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求数列{an}的通项公式．

2022-11-06 01:56:24 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

设等比数列{a_n}的公比为q，
∵等比数列{a_n}的前三项之积为512，∴a₁a₂a₃=

•a₂•a₂q=（a₂）³=512，解之得a₂=8
又∵这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，
∴a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差数列，得（a₁-1）+（a₃-9）=2（a₂-3）
即：

-1+a₂q-9=2a₂-6，即

+8q-10=10
化简得2q²-5q+2=0，解得q=2或q=

，
∵等比数列{a_n}是递增，可得q＞1，
∴q=2，得a₁=

=4，可得等比数列通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹．

根据前三项之积为512，利用等比数列性质算出a₂=8．设公比为q，由a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差数列，建立关于q的方程并解出q的值，再根据等比数列的通项公式加以计算，可得数列{a_n}的通项公式．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题给出等比数列满足的条件，求它的通项公式，着重考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质和等差中项的定义等知识，属于中档题．

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