已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

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已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

2022-11-04 22:34:45 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知正整数a满足192|a³+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由192|a³+191，可得192|a³-1+192=3×2⁶，
且a³-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）．（5分）
因为a（a+1）+1是奇数，
所以3×2⁶|a³-1等价于2⁶|a-1，
又因为3|（a-1）a（a+1），
所以3|a³-1等价于3|a-1．
因此有192|a-1，于是可得a=192k+1．（15分）
又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10．
因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为
11+192（1+2+…+10）=10571．（20分）

根据已知条件得192|a³-1+192=3×2⁶，因为a（a+1）+1是奇数，则192|a-1，于是可得a=192k+1．又0＜a＜2009，所以k=0，1，10．因此，可求得满足条件的所有可能的正整数a的和．

本题考点：数的整除性．

考点点评：本题考查了数的整除性问题，是中档题，难度不大．

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