如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为_____

2022-10-20 12:38:25 15次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，
而x1+

＝3，x2+

＝1，且x1x2＝

，
∴(3−

)(1−

)＝

⇒p＝

，
得y²=3x．
故答案为：y²=3x．

根据过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=x，而x1+

＝3，x2+

＝1，且x1x2＝

，(3−

)(1−

)＝

⇒p＝

，可求得p的值，即求得抛物线的方程．

本题考点：抛物线的标准方程．

考点点评：此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．

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