使不等式1n+1+1n+2+… +12n+1＜a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______．

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使不等式1n+1+1n+2+… +12n+1＜a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______．

2022-10-22 02:41:45 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+… +
1
2n+1
＜a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设：a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+… +

1

2n+1

，
a_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+… +

1

2n+3

，
a_n+1-a_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

−

1

n+1

＜0
所以{a_n}对于n为正整数时为单调递减数列，
使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+… +

1

2n+1

＜a−2007

1

3

对一切正整数n都成立的最小正整数a的值，
就是n=1时，a＞2007

1

3

+

1

2

+

1

3

=2008+

1

6

成立的最小整数．即2009．
故答案为：2009．

不等式的左侧设为a_n，构造数列{an}通过证明数列是递减数列，求出使不等式成立的最小正整数a的值．

本题考点：数列与不等式的综合；数列的极限．

考点点评：本题是中档题，考查数列与不等式的关系，考查构造法解题，已经函数的单调性等有关知识．

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