已知−π6≤β＜π4，3sin2α-2sin2β=2sinα，试求sin2β−12sinα的最小值．

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已知−π6≤β＜π4，3sin2α-2sin2β=2sinα，试求sin2β−12sinα的最小值．

2022-10-11 19:38:24 62次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知−
π
6
≤β＜
π
4
，3sin²α-2sin²β=2sinα，试求sin2β−
1
2
sinα的最小值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由3sin²α-2sin²β=2sinα，可得sin²β=

3

2

sin²α-sinα，
∵−

π

6

≤β＜

π

4

，∴-

1

2

≤sinβ＜

2

2

，
∴0≤sin²β＜

1

2

，
∴0≤

3

2

sin²α-sinα＜

1

2

，
解得

2

3

≤sinα＜1，
∴sin2β−

1

2

sinα=

3

2

sin²α-

3

2

sinα=

3

2

(sinα−

1

2

)2−

3

8

，
∵

2

3

≤sinα＜1，
∴sinα=

2

3

时，sin2β−

1

2

sinα的最小值为-

1

3

．

由已知中−

π

6

≤β＜

π

4

，3sin²α-2sin²β=2sinα，我们可以判断出sinα的取值范围，进而利用同角三角形函数关系，再结合二次函数的性质和sinα的取值范围，即可得到答案．

本题考点：同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，其中根据已知条件判断出sinα的取值范围，是解答本题的关键．

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