设x y为正实数,且x+y=1,证明：(1+1/x)(1+z/y)>=9

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设x y为正实数,且x+y=1,证明：(1+1/x)(1+z/y)>=9

2022-10-11 08:12:31 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设x y为正实数,且x+y=1,证明：(1+1/x)(1+z/y)>=9

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：(1+1/x)(1+1/y)>=9 吧
方法一：（分析法（找思路））(1+1/x)(1+1/y)>=9 等价于 (x+1)(y+1)>=9xy （通分,去分母）等价于 xy<=1/4 （展开,移项并注意到x+y=1）
最后由平均值不等式知显然成立
方法二：（综合法）因为x+y=1,x>0,y>0,所以xy<=[(x+y)/2]^2=1/4
从而 8xy<=2
9xy<=2+xy=xy+(x+y)+1=(x+1)(y+1)
两边同时除以xy,整理得(1+1/x)(1+1/y)>=9
方法三：(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/(xy)=1+(x+y)/(xy)+1/(xy)=1+2/xy>=1+2/[(x+y)/2]^2=9
还有其它方法不再一一说明

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