解方程：（x+3）4+（x+1）4=82．

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解方程：（x+3）4+（x+1）4=82．

2022-03-18 18:43:05 46次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

解方程：（x+3）⁴+（x+1）⁴=82．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

假设y=

x+3+x+1

=x+2
则原方程变为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82⇒[（y+1）²-（y-1）²]²+2（y+1）²×（y-1）²-82=0⇒16y²+2（y²-1）²-82=0⇒y⁴+6y²-40=0⇒（y²+10）（y²-4）=0．
∵y²+10≠0
∴只能是y²-4=0
解这个方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根为x₁=0，x₂=-4．

由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设y=

x+3+x+1

=x+2，因而首先将原方程转化为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82．
通过完全平方差公式、平方差公式、因式分解将方程转化为（y²+10）（y²-4）=0．解得y的值，再代入换元式y=x+2求得x的值．即为方程的解．

本题考点：高次方程．

考点点评：本题通过换元，设y=x+2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如
（x+a）⁴+（x+b）⁴=c的方程，可以用换元（设y=x+

a+b

）的方法化为双二次方程．

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